BAB 3 Sinyal dan Sistem di Domain z 
                             Bab 3: Sinyal dan Sistem di Domain z 
                              
                             Analisa sinyal dan sistem bisa dipermudah apabila dilakukan pada domain z.  Untuk itu, 
                             sinyal dan sistem direpresentasikan ke dalam domain ini kemudian hasilnya dipakai 
                             untuk analisa. 
                             1  Transformasi z pada Sinyal 
                             1.1  Definisi Transformasi z 
                                                                                       Tujuan Belajar 1 
                                         Peserta mengetahui definisi Transformasi z (X(z)) dari sinyal x(n) beserta 
                                         definisi dan pengertian  Region of Convergence  (RoC), yakni sebuah 
                                         polinomial. 
                                                                                     forward 
                                                                            
                                               Kawasan                                                                     Kawasan Z 
                                                 Waktu                                                                      (Z-plane) 
                                                                                            
                                                                                     inverse 
                              
                                              sequence                                                            polinomial 
                                                                                                                                       ∞
                                                  x(n)                                                                X(z) =  ∑ x(n)z−n          
                                                                                                                                     n=−∞
                                          
                                         Z-transform untuk sinyal x(n) : 
                                                                 X(z) = z{x(n)} 
                              
                                                                    ( )      z
                                                                  x n ←→X(z) 
                              
                             Region of Converge (ROC) : karena  X(z) adalah deret tak hingga maka secara 
                             matematis bisa bernilai ∞ untuk z terhingga ⇒ tidak boleh.  Oleh sebab itu z yang bisa 
                             digunakan adalah z ∈ ROC 
                              
                                                                                       Tujuan Belajar 2 
                                         Peserta mengetahui bahwa untuk sinyal berdurasi terbatas (finite 
                                         duration), X(z) adalah polinomial berorde terbatas dengan RoC seluruh 
                                         bidang z kecuali titik tertentu. 
                                                                                                  III-1 
                BAB 3 Sinyal dan Sistem di Domain z 
                               
                x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} 
                   
                               -1    -2    -3  -5
                ⇒ X(z) = 1 + 2z  + 5z  + 7z  + z  
                       ROC seluruh z-plane kecuali z = 0, z = ∞ 
                                                         
                                                 Tujuan Belajar 3 
                       Peserta mengetahui  X(z) dari impuls dan versi tergesernya sejauh  k 
                       sampel. 
                 
                x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} 
                 
                           2           -1   -3
                ⇒ X(z) = z  + 2z+ 5 + 7z  + z  
                ROC seluruh z-plane kecuali z = 0, z = ∞ 
                              x(n) = δ(n) ⇒ X(z) = 1 
                ROC : seluruh z-plane 
                              x(n) = δ(n-k), k >0  ⇒ X(z) = z-k 
                ROC : seluruh z-plane, kecuali z = 0 
                                                           k
                              x(n) = δ(n+k), k > 0  ⇒ X(z) = z  
                       ROC : seluruh z-plane, kecuali z = ∞ 
                        
                                                 Tujuan Belajar 4 
                                                                                     n
                       Peserta mengetahui  X(z) untuk sinyal durasi tak hingga  x(n)=(a) u(n) 
                       beserta RoC yang sesuai bagi  a ≤1. 
                        
                Cari Z-transform dari x(n) = (1/2)nu(n) 
                Jawab : 
                                                 1 0   1 2   1 3
                              x(n) = { …, 0, 0, …,(2) , (2) , (2) , …} 
                              X(z)=1+1z−1+12z−2 +1nz−n +... 
                                        2      2        2
                                                         
                                                       III-2 
                   BAB 3 Sinyal dan Sistem di Domain z 
                          Ingat  ∞ xn =       1 , bila |x| < 1 
                                 ∑         1−x
                                 n=0
                                                   ∞,    bila |x| ≥ 1 
                          → X(z) =      1        ; ROC :  1 < 1 
                                     1−(1 )                2z
                                         2z
                                  X(z) =      1          ; ROC : |z| >1/2    
                                          1−1z−1
                                             2
                   Secara umum berlaku 
                          ⇒ x(n)=anu(n) ⇔ X(z)=            1      untuk  z > a. 
                                                        1−az−1
                                                                 
                                                       Tujuan Belajar 5 
                          Peserta mengetahui perbedaan RoC untuk sinyal berdurasi tak hingga 
                          kausal (di luar lingkaran), anti-kausal (di dalam lingkaran), dan 
                          kombinasinya (cincin). 
                    
                   Konvergensi |X(z)| dari sinyal kausal dan Antikausal 
                   Pertama kita tahu bahwa bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk kartesian 
                   atau bentuk polar, misalnya 
                                                   z = re jθ = Re(z)+ jIm(z) 
                                                                   Im
                                                                             z
                                                                        θ         Re
                                                                                        
                                      Gambar 1.  Bentuk polar dari bilangan kompleks z. 
                                                                     
                                                                         
                                   z−n = r−ne−jnθ  
                    
                                                              III-3 
                        BAB 3 Sinyal dan Sistem di Domain z 
                                     ∞
                                              ( −n ) −jnθ                 cek |X(z)| < ∞ 
                         X(n)= ∑x(n)1 e
                                   n=−∞
                                      ∞                        ∞
                         X(z) = ∑x(n)r−ne−jθn ≤ ∑ x(n) r−n e−jθn
                                    n=−∞                     n=−∞                            
                                                                                                   ↑= 1
                                                                                                    
                                        = ∑ x(n)r−n  
                                            −1             −n       ∞ x(n)
                                        =   ∑ x(n−)r            + ∑ n  
                                          n=−∞                    n=0 r
                                           ∞            n      ∞ x(n)
                                        =  ∑ x(n−)r        + ∑ n   
                                          n=1                n=0 r
                                             
                        Term Noncausal : dua term harus konvergen 
                          ∞            n
                             x(−n)r      <1 → r harus kecil, < r
                         ∑                                               1 
                         n=1
                                  →  x(−n) ≤ 1  →|z| < r  
                                                   rn              1
                                                                                  Im
                                                                                           r1
                                                                                                        R
                                                                                                           e
                                                                                                                 
                                                         Gambar 2.  ROC untuk term nonkausal. 
                        Term kausal 
                          x(n) <1,   r>r , |z|>r  
                           rn                   2        2
                         
                                                                                 III-4