Summary	WI1402LR:	Calculus	II	
                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                Bram	Peerlings	–	B.Peerlings@student.tudelft.nl	–	June	15th,	2011	
                                                                                                                                                                                                                       Based	on	Calculus	6e	(James	Stewart)	&	Lecture	notes	
                                                                                                 Chapter	14:	Partial	Derivatives	
                                                                                                 §14.5:	The	Chain	Rule	(p.	901)	
                                                                                                 General version: 
                                                                                                                                      ߲ݑ                           ߲ݑ ߲ݔ                                           ߲ݑ ߲ݔ                                            ߲ݑ ߲ݔ                                                                 ߲ݑ ߲ݔ
                                                                                                                                                      ൌ                                        ଵ ൅                                              ଶ ൅                                             ଶ ൅⋯൅                                                                  ௡ 
                                                                                                                                     ߲ݐ                          ߲ݔ ߲ݐ                                           ߲ݔ ߲ݐ                                            ߲ݔ ߲ݐ                                                                 ߲ݔ ߲ݐ
                                                                                                                                                ௜                            ଵ                 ௜                             ଶ                  ௜                             ଶ                 ௜                                                  ௡                   ௜
                                                                                                 Implicit differentiation: 
                                                                                                                                     ݀ݕ                                   ܨ
                                                                                                                                                     ൌെ௫ 
                                                                                                                                     ݀ݔ                                   ܨ
                                                                                                                                                                              ௬
                                                                                                                                    Also holds for other partial derivatives. 
                                                                                                 §14.6:	Directional	Derivatives	and	the	Gradient	Vector	(p.	910)	
                                                                                                 Directional derivatives make it possible to calculate rates of change in directions other than ݔ and ݕ. 
                                                                                                 Directional derivative: 
                                                                                                                                                      ሺ                    ሻ                              ሺ                    ሻ                                         ሺ                    ሻ                                ሺ                    ሻ                                                         〈                    〉
                                                                                                                                    ܦ ݂ ݔ,ݕ ൌ׏݂ݔ,ݕ ∙࢛ൌ݂ ݔ,ݕ ܽ൅݂ ݔ,ݕ ܾ, with ࢛ൌ ܽ,ܾ  a unit vector in the 
                                                                                                                                           ௨                                                                                                                        ௫                                                     ௬
                                                                                                                                    desired direction. 
                                                                                                 Gradient vector:                                                                                                                                                                                          ߲݂                             ߲݂                             ߲݂෡
                                                                                                                                                  ሺ                    ሻ                 〈            ሺ                             ሻ                                                    〉                                   ̂                              ̂
                                                                                                                                     ׏݂ ݔ,ݕ ൌ ݂ ݔ,ݕ,ݖ ,݂ሺݔ,ݕ,ݖሻ ൌ                                                                                                                                                        ଙ ൅                            ଚ ൅                            ࢑ 
                                                                                                                                                                                                 ௫                                               ௬                                                         ߲ݔ                             ߲ݕ                             ߲ݖ
                                                                                                                                    The dot product of the gradient vector and a unit vector ࢛, expresses the directional 
                                                                                                                                    derivative in the direction of ࢛ as the scalar projection of the gradient vector onto ࢛. 
                                                                                                                                    The maximum value of the directional derivative occurs when ࢛ has the same direction as 
                                                                                                                                                                                                                                       ሺ                    ሻ                                                                                                                                                                                                                                |               ሺ                    ሻ|
                                                                                                                                    the gradient vector ׏݂ ݔ,ݕ , and is equal to the length of the gradient vector ( ׏݂ ݔ,ݕ . 
                                                                                                 Tangent plane and normal line: 
                                                                                                                                    The equation for a tangent plane is given by: 
                                                                                                                                    ܨሺ ,ݕ,ݖሻሺ                                                                                   ሻ                          ሺ              ,ݕ,ݖሻሺ                                                              ሻ                         ሺ               ,ݕ ,ݖ ሻሺ                                                         ሻ
                                                                                                                                                  ݔ                                               ݔെݔ ൅ܨ ݔ                                                                                                      ݕെݕ ൅ܨ ݔ                                                                                                     ݖെݖ ൌ0 
                                                                                                                                        ௫               ଴             ଴             ଴                                      ଴                          ௬              ଴              ଴             ଴                                      ଴                          ௭              ଴             ଴             ଴                                    ଴                                                                                                                                                  	
                                                                                                                                    The equation for a normal line is given by:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        s
                                                                                                                                                ௫ି௫                                                       ௬ି௬                                                       ௭ି௭                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                e
                                                                                                                                            ሺ                  బ            ሻ ൌ                       ሺ                  బ            ሻ ൌ                      ሺ                  బ            ሻ                                                                                                                                                                                                                                                                                                       tiv
                                                                                                                                    ி ௫ ,௬ ,௭                                                ி ௫ ,௬ ,௭                                                 ி ௫ ,௬ ,௭
                                                                                                                                        ೣ           బ బ బ                                        ೤ బ బ బ                                                   ೥           బ బ బ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           a
                                                                                                 §14.7:	Minimum	and	Maximum	Values	(p.	922)	                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           riv
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       De
                                                                                                 Local versus global/absolute and critical point:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      	
                                                                                                 A global or absolute minimum or maximum is an extreme value on the full domain of the function, a                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     rtial
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       a
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       P
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       	
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ሾ                   ሿ                                                                                                                                                :
                                                                                                 local minimum or maximum is an extreme value on a designated domain  ܽ,ܾ . The partial                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                14
                                                                                                 derivatives on a critical point are equal to zero. If that equation cannot be solved, the function has no                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             	
                                                                                                 critical point(s).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    apter
                                                                                                 Stationary/saddle point:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Ch
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             1
                                                                                                 	
                        A stationary or saddle point is a local maximum with respect to one curve, and a local minimum with 
                                                               ଷ
                        respect to the other. (Think of ݕൌݔ at ݔൌ0.) 
                        Second derivatives test: 
                        The second derivatives test gives the nature of a critical point. 
                                                      ሺ    ሻ      ሺ    ሻ
                                                  ݂    ܽ,ܾ    ݂    ܽ,ܾ
                                        ሺ    ሻ   ቈ ௫௫          ௫௬       ቉                         ሺ    ሻ
                        First, define ܪ  ܽ,ܾ ൌ                           . The determinant of ܪ ܽ,ܾ  and the value of 
                                       ௙              ሺ    ሻ      ሺ    ሻ                         ௙
                                                  ݂    ܽ,ܾ    ݂    ܽ,ܾ
                           ሺ    ሻ                  ௬௫          ௬௬
                        ݂   ܽ,ܾ  show whether the critical point is a local minimum, maximum or a saddle/stationary point. 
                         ௫௫           ቀ    ሺ    ሻቁ             ሺ    ሻ      ሺ    ሻ
                            1.  If det ܪ ܽ,ܾ       ൐0 and ݂     ܽ,ܾ ൐0,  ܽ,ܾ  is a local minimum. 
                                      ቀ ௙ሺ      ሻቁ           ௫௫ሺ    ሻ      ሺ    ሻ
                            2.  If det ܪ ܽ,ܾ       ൐0 and ݂     ܽ,ܾ ൏0,  ܽ,ܾ  is a local maximum. 
                                         ௙                   ௫௫
                                      ቀ    ሺ    ሻቁ      ሺ    ሻ
                            3.  If det ܪ ܽ,ܾ       ൏0,  ܽ,ܾ  is a saddle point. 
                                  ሺ    ሻ ௙
                        If detቀܪ ܽ,ܾ ቁ ൌ0, the test is inconclusive. 
                                 ௙
                        Global/absolute minimum and maximum: 
                        To find the global/absolute extreme value, there are three steps to take: 
                            1.  Find the values of ݂ at the critical points of ݂ in ܦ. 
                            2.  Find the extreme values of ݂ on the boundary of ܦ. 
                            3.  The largest from (1) and (2) is the global/absolute maximum, the smallest the 
                                global/absolute minimum. 
                                                          	
                                                                                                                                             	
                                                                                                                                             s
                                                                                                                                             e
                                                                                                                                             tiv
                                                                                                                                             a
                                                                                                                                             riv
                                                                                                                                             De
                                                                                                                                             	
                                                                                                                                             rtial
                                                                                                                                             a
                                                                                                                                             P
                                                                                                                                             	
                                                                                                                                             :
                                                                                                                                             14
                                                                                                                                             	
                                                                                                                                             apter
                                                                                                                                             Ch
                                                                                                                                           2
                        	
                               Chapter	15:	Multiple	Integrals	
                               §15.1:	Double	Integrals	over	Rectangles	(p.	951)	
                               Definition: 
                                         The double integral is defined in the same way as the single integral, and can be 
                                         approximated by a (double) Riemann sum. 
                                                ሺ      ሻ                   ௠ ௡            ∗    ∗
                                          ඵ                               ෍෍
                                              ݂ ݔ,ݕ ݀ܣ ൌlim                         ݂൫ݔ ,ݕ ൯Δܣ 
                                             ோ                   ௠,௡→ஶ௜ୀଵ௝ୀଵ             ௜௝    ௜௝
                               Midpoint Rule:                                                   ∗    ∗
                                         Rather than taking an arbitrary point ൫ݔ ,ݕ ൯, the Midpoint Rule allows taking the center 
                                                                                                ௜௝   ௜௝
                                         ൫ݔഥ,ݕഥ൯ of ܴ  and then computing the Riemann sum. 
                                             ప   ఫ        ௜௝               ௠ ௡
                                          ඵ ሺ ሻ                           ෍෍
                                              ݂ ݔ,ݕ ݀ܣ ൎlim                         ݂൫ݔഥ,ݕഥ൯Δܣ 
                                             ோ                   ௠,௡→ஶ௜ୀଵ௝ୀଵ             పሾ ఫ         ሿ
                                 where ݔഥ is the midpoint of  ݔ                                  ,ݔ           ഥ is the midpoint of ൣݕ            ,ݕ൧. 
                                                                                                        and ݕ
                                                                ప                            ௜ିଵ    ௜          ఫ                             ௝ିଵ ௝
                               §15.2:	Iterated	Integrals	(p.	959)	
                               Fubini’s theorem: 
                                         When evaluating a double (or triple) integral, you are free to choose the order of integration. 
                                                ሺ      ሻ           ௕    ௗ                           ௗ    ௕ ሺ       ሻ
                                          ඵ                      නන                              නන
                                             ோ݂ ݔ,ݕ ݀ܣ ൌ ௔ ௖ ݂ሺݔ,ݕሻ݀ݕ	݀ݔ ൌ ௖                            ௔ ݂ ݔ,ݕ 	݀ݔ	݀ݕ 
                               §15.3:	Double	Integrals	over	General	Regions	(p.	965)	
                               Type I and Type II regions: 
                                               ሼሺ      ሻ                       ሺ ሻ                ሺ ሻሽ
                               Type I: ܦൌ ݔ,ݕ |	ܽ ൑ ݔ ൑ ܾ, ݃ ݔ ൑ݕ൑݃ ݔ  
                                                ሼሺ      ሻ                    ଵ ሺ ሻ              ଶ ሺ ሻሽ
                               Type II: ܦൌ ݔ,ݕ |	ܿ ൑ ݕ ൑ ݀, ݄ ݔ ൑ݔ൑݄ ݔ  
                                                                              ଵ                  ଶ
                               In integration, there is not much of a difference. One only has to pay attention to the order of 
                               integration. 
                               §15.4:	Double	Integrals	in	Polar	Coordinates	(p.	974)	
                               Polar coordinates: 
                               Rather than specifying a point by giving the distances to the origin on multiple axes, polar 
                               coordinates specify a point by the (shortest) distance to the origin (radius ݎ) and an angle (ߠ). 
                               Converting can be done with these formula’s: 
                                            ଶ       ଶ      ଶ
                                          ݎ ൌݔ ൅ݕ                                                                                                                                     	
                                         ݔൌݎcosߠ                                                                                                                                      s
                                         ݕൌݎsinߠ                                                                                                                                      l
                                                                                                                                                                                      gra
                                                           ݕ                                                                                                                          e
                                                     ିଵቀ ቁ                                                                                                                            t
                                          ߠൌtan ݔ 	                                                                                                                                   In
                                                                                                                                                                                      	
                                                                                                                                                                                      le
                                                                                                                                                                                      p
                               Jacobian:                                                                                                                                              i
                                                                                                                                                                                      lt
                               When evaluating an integral in polar coordinates, the function to integrate must first be multiplied                                                   u
                                                                                                                                                                                      M
                                                                                                                                                                                      	
                               with a Jacobian (in this case a factor ݎ, printed in bold in the formula below).                                                                       :
                                                                                                                                                                                      15
                                                ሺ      ሻ           ఉ    ௕ ሺ                      ሻ                                                                                    	
                                          ඵ                     නන
                                             ௥݂ ݔ,ݕ ݀ܣ ൌ ఈ ௔ ݂ ݎcosߠ,ݎsinߠ	࢘	݀ݎ	݀ߠ                                                                                                    apter
                                                                                                                                                                                      Ch
                                                                                                                                                                                   3
                               	
                        §15.5:	Applications	of	Double	Integrals	(p.	980)	
                        Double integrals can be used to find the center of mass and the moment of inertia of a general 
                        volume. 
                        Center of mass: 
                                     ܯ      1
                                       ௬      ඵ ሺ ሻ
                                ݔ̅ ൌ ݉ ൌ ݉ ஽ݔ	ߩ ݔ,ݕ 	݀ܣ 
                                     ܯ      1
                                       ௫      ඵ ሺ ሻ
                                ݕതൌ݉ ൌ݉ ஽ݕ	ߩ ݔ,ݕ ݀ܣ 
                                where the mass ݉ is given by  
                                      ඵ ሺ ሻ
                                ݉ൌ ஽ߩ ݔ,ݕ ݀ܣ 
                        Moment of Inertia: 
                                      ඵ ଶ ሺ       ሻ
                                ܫ ൌ      ݕ ߩ ݔ,ݕ ݀ܣ 
                                 ௫      ஽ ଶ ሺ     ሻ
                                ܫ ൌඵݔ ߩ ݔ,ݕ ݀ܣ 
                                 ௬      ஽ ଶ      ଶ
                                   ൌඵሺݔ ൅ݕሻ ሺ             ሻ    ൌܫ൅ܫ 
                                ܫ                   ߩ ݔ,ݕ ݀ܣ
                                 ଴      ஽                         ௫     ௬
                        §15.6:	Triple	Integrals	(p.	990)	
                        Definition: 
                        The triple integral of ݂ over the box ܤ is defined as 
                                      ሺ      ሻ                ௟   ௠ ௡        ∗    ∗    ଼
                                ම                            ෍෍෍
                                     ݂ ݔ,ݕ,ݖ ܸ݀ ൌlim                     ݂൫ݔ ,ݕ ,ݖ ൯Δܸ 
                                   ஻                 ௟,௠,௡→ஶ௜ୀଵ௝ୀଵ௞ୀଵ        ௜௝௞  ௜௝௞  ௜௝௞
                        Fubini’s theorem:              ௦  ௗ   ௕
                                මሺ ሻ නනනሺ ሻ
                                   ஻݂ ݔ,ݕ,ݖ ܸ݀ ൌ ௥ ௖         ௔ ݂ ݔ,ݕ,ݖ 	݀ݔ	݀ݕ	݀ݖ 
                        Applications: 
                                Mind that the result of a triple integration is a hypervolume (since you’re integrating over a 
                                volume (3D already), and by integrating, add an extra dimension), something that can only 
                                exist in 4D. Although that is hard to imagine (if possible at all), there are some applications of 
                                triple integrals: calculation of moments, centers of mass and moments of inertia, for 
                                example. Electrical charge can also be expressed as a triple integral. 
                                                                                                                                           	
                        §15.7:	Triple	Integrals	in	Cylindrical	Coordinates	(p.	1000)	                                                      s
                        Just as the polar coordinate system is an alternative to a 2D Cartesian system, a cylindrical                      l
                                                                                                                                           gra
                                                                                                                                           e
                        coordinate system is an alternative to a 3D Cartesian system. The third dimension is the ݖ‐axis and,               t
                                                                                                                                           In
                        surprisingly, stays the same when converting to cylindrical coordinates.                                           	
                                                                                                                                           le
                                 ଶ      ଶ    ଶ                                                                                             p
                                ݎ ൌݔ ൅ݕ                                                                                                    i
                                                                                                                                           lt
                                ݔൌݎcosߠ                                                                                                    u
                                                                                                                                           M
                                                                                                                                           	
                                ݕൌݎsinߠ                                                                                                    :
                                             ݕ                                                                                             15
                                         ିଵቀ ቁ                                                                                             	
                                ߠൌtan ݔ 	                                                                                                  apter
                                ݖൌݖ                                                                                                        Ch
                                                                                                                                         4