Introduction to stochastic calculus
                       Justin Salez
                      October24,2022
       2
                           Contents
                           1 Preliminaries                                                                                                                                                      5
                                 1.1      Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          5
                                 1.2      Brownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                              7
                                 1.3      Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           9
                                 1.4      Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         12
                                 1.5      Levy’s characterization of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                              14
                                 1.6      Local martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         15
                           2 Stochasticintegration                                                                                                                                            17
                                 2.1      TheWienerisometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                             17
                                 2.2      TheWienerintegralasaprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                 19
                                 2.3      Progressive processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         21
                                                     ˆ
                                 2.4      TheItoisometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          22
                                                     ˆ
                                 2.5      TheItointegral as a process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           23
                                                                   ˆ
                                 2.6      Generalized Ito integral                      .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     25
                           3 Stochasticdifferentiation                                                                                                                                        27
                                             ˆ
                                 3.1      Ito processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                       27
                                                                                           ˆ
                                 3.2      Quadratic variation of an Ito process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           29
                                             ˆ
                                 3.3      Ito’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                       30
                                 3.4      Exponential martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           32
                                 3.5      Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            33
                                 3.6      Anapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         35
                           4 Stochasticdifferential equations                                                                                                                                 37
                                 4.1      Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         37
                                 4.2      Existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                            38
                                 4.3      Practical examples                   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . .          40
                                 4.4      Markovpropertyfordiffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                               42
                                 4.5      Generator of a diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          43
                                 4.6      Connectionwithpartialdifferential equations                                          .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . .           45
                                 Disclaimer: this course is a minimal and practical introduction to the theory of stochastic
                           calculus, with an emphasis on examples and applications rather than abstract subtleties.
                                                                                                               Â
                                 Acknowledgment: Thanks are due to Josue Corujo and Damiano De Gaspari for having
                           reported manytyposinapreliminaryversionofthesenotes.
                                                                                                             3
       CONTENTS
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